Окончил биологический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова в 1969 году.
Искусству создания смычковых музыкальных инструментов обучался у своего отца, известного скрипичного мастера Льва Александровича Горшкова. Первую скрипку самостоятельно сделал в 1958 году, когда учился в центральной музыкальной школе у выдающегося струнного мастера Евгения Николаевича Горохова.
Участвовал в многочисленных выставках. За высокопрофессиональные исполнительские и художественные качества виолончелей, альтов и скрипок Борис Горшков неоднократно завоевывал престижные премии и дипломы на Всесоюзных и Международных конкурсах: 1962, 1966, 1967, 1970, 1974, 1981, 1983, 1986, 1987 гг. в Москве; 1967, 1981, 1986 гг. в Познани (Польша); 1976, 1979 гг. в Кремоне; 1983 г. в Софии.
За 45 лет творческой деятельности Борисом Горшковым изготовлено свыше 500 смычковых инструментов, которые приобретены концертными организациями, музыкальными учебными заведениями, филармониями, музеями музыкальной культуры, а также Государственной коллекцией уникальных смычковых музыкальных инструментов.
С 1994 года возглавлял Творческий союз мастеров-художников и реставраторов музыкальных инструментов, являлся членом Правления Союза музыкантов Москвы, членом Координационно-творческого совета Международного Союза музыкальных деятелей и членом Координационного совета Творческих союзов Российской Федерации. Вёл большую педагогическую и общественную деятельность. Его ученики работают в странах ближнего и дальнего зарубежья, многие из которых являются лауреатами Всесоюзных и Международных конкурсов и выставок.
Умер в Москве в 2021 году. Похоронен на Троекуровском кладбище.
На инструментах мастера играют многие выдающиеся исполнители, как отечественные, так и зарубежные.
Статьи о Борисе Горшкове вошли в «Музыкальную энциклопедию», в «Музыкальный энциклопедический словарь», а также в зарубежные каталоги и справочники.
Сегодня его дело продолжают сыновья, которые работают в инструментальных скрипичных мастерских имени Е. Ф. Витачека при Московской консерватории.
Рождение на свет каждой новой скрипки можно с полным правом считать маленьким чудом. С творцом этого чуда скрипичных дел мастером Борисом Львовичем Горшковым в канун его 80-летнего юбилея.
Председатель Творческого союза мастеров-художников и реставраторов музыкальных инструментов пытается достучаться до властей – поведать им о необратимом регрессе Школы российских скрипичных мастеров.
«Наш музей — не просто выставка музыкальных инструментов. Это небольшой концертный зал, место для музыкальных вечеров, здесь хорошая акустика.»